큰 수의 법칙

큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 법칙이다. 단, 배열의 특정한 인덱스(번호)에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수 없는 것이 이 법칙의 특징이다.

 

예를 들어 순서대로 2, 4, 5, 4, 6으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 8이고, K가 3이라고 가정하자, 이 경우 특정한 인덱스에 해당하는 수가 연속해서 세 번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는 6 + 6 + 6 + 5 + 6 + 6 + 6 + 5인 46이 된다.

단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다. 예를 들어 순서대로 3, 4, 3, 4, 3으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고, K가 2라고 가정하자. 이 경우 두 번째 원소에 해당하는 4와 네 번째 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번씩 더하는 것이 가능하다. 결과적으로 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4인 28이 된다.

 

배열의 크기 N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오.

 

입력조건

• 첫째 줄에 N(2 <= N <= 1,000), M(1 <= M <= 10, 000), K(1 <= K <= 10,000)의 자연수가 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분한다.
• 둘째 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다. 단, 각각의 자연수는 1 이상 10, 000 이하의 수로 주어진다.
• 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.

출력조건

• 첫째 줄에 큰 수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.

입력 예시
5 8 3
2 4 5 4 6
출력 예시
46

문제 해설

이 문제는 전형적인 그리디 알고리즘 문제로, 문제 해결을 위한 아이디어를 떠올리는 것은 어렵지 않은 편이다. 이 문제를 해결하려면 일단 입력값 중에서 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수만 저장하면 된다. 연속으로 더할 수 있는 횟수는 최대 K번이므로 '가장 큰 수를 K번 더하고 두 번째로 큰 수를 한 번 더하는 연산'을 반복하면 된다. 

 

단순하게 푸는 답안 예시

n, m, k = map(int, input().split())
num = list(map(int, input().split()))
num.sort(reverse=True)
first = num[0]
second = num[1]
result = 0

while(True):
	for i in range(k):
    	if m == 0:
        	break
        result += first
        m -= 1
    if m == 0:
    	break
    result += second
    m -= 1
print(result)

이 문제는 M이 10, 000 이하이므로 이 방식으로도 문제를 해결할 수 있지만, M의 크기가 100억 이상처럼 커진다면 시간 초과 판정을 받을 것이다. 간단한 수학적 아이디어를 이용해 더 효율적으로 문제를 해결해 보자. 예를 들어 N이 5이고 입력값이 다음과 같이 주어졌다고 가정하자. 2, 4, 5, 4, 6

이때 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수를 선택하면 다음과 같다.

- 가장 큰 수: 6

- 두 번째로 큰 수: 5

이때 M이 8이고, K가 3이라면 다음과 같이 더했을 때 합을 최대로 할 수 있다. 다시 말해 (6 + 6 + 6 + 5) + (6 + 6 + 6 + 5)로 정답은 46이 된다.

 

이 문제를 풀려면 가장 먼저 반복되는 수열에 대해서 파악해야 한다. 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수가 더해질 때는 특정한 수열 형태로 일정하게 반복해서 더해지는 특징이 있다. 위의 예시에서는 수열 {6, 6, 6, 5}가 반복된다. 그렇다면 반복되는 수열의 길이는 (k + 1)이 된다. 따라서 M을 (K + 1)로 나눈 몫이 수열이 반복되는 횟수가 된다. 다시 여기에 K를 곱해주면 가장 큰 수가 등장하는 횟수가 된다. 

이때 M이 (K + 1)로 나누어떨어지지 않는 경우도 고려해야 한다. 그럴 때는 M을 (K + 1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려해주어야 한다. 즉 '가장 큰 수가 더해지는 횟수'는 다음과 같다.

int(M / (K + 1)) * K + M % (K + 1)

결과적으로 위의 식을 이용하여 가장 큰 수가 더해지는 횟수를 구한 다음, 이를 이용해 두 번째로 큰 수가 더해지는 횟수까지 구할 수 있는 것이다.

n, m, k = map(int, input().split())
num = list(map(int, input().split()))
num.sort(reverse=True)
first = num[0]
second = num[1]

count = int(m / (k + 1)) * k
count += m % (k + 1)

result = 0
result += count * first #가장 큰 수 더하기
result += (m - count) * second #두 번째로 큰 수 더하기

출처: 나동빈, 『이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬』(한빛미디어), 92-95p