1이 될 때까지

어떠한 수 N이 1이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어 떨어질 때만 선택할 수 있다.

1. N에서 1을 뺀다.
2. N을 K로 나눈다.

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자, 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면, N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 된다. 이는 N을 1로 만드는 최소 횟수이다.

N과 K가 주어질 때, N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성해 보자.

입력 조건

첫째 줄에 N(2 <= N <= 100,000)과 K(2 <= K <= 100,000)가 공백으로 구분되며 각각 자연수로 주어진다. 이때 입력으로 주어지는 N은 항상 K보다 크거나 같다.

출력 조건

첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

입력 예시
25 5

출력 예시
2

문제 해설

주어진 N에 대하여 '최대한 많이 나누기'를 수행하면 된다. 왜냐하면 어떠한 수가 있을 때, '2 이상의 수로 나누는 것'이 '1을 빼는 것'보다 숫자를 훨씬 많이 줄일 수 있기 때문이다. 문제에서는 K가 2 이상의 자연수이므로, 가능하면 나누는 것이 항상 더 숫자를 빠르게 줄이는 방법이 된다.

예를 들어 N이 9일 때 K가 3이라면 2번만 나누어도 순식간에 N = 9에서 N = 1이 된다. 그러므로 매우 빠르게 1을 만들 수 있다. 반면에 N = 9일 때 1을 빼는 방식만을 이용하면 8번을 빼야지만 N = 1을 만들 수 있다. 그러므로 K로 가능한 한 많이 나눴을 때 가장 빠르게 N = 1을 만들 수 있다.

따라서 다음의 과정을 반복할 수 없을 때까지 반복하면 정답을 구할 수 있다.

n, k = map(int, input().split())
cnt = 0
while(n >= k):
	while(n % k != 0):
    	n -= 1
        cnt += 1
    n //= k
    cnt += 1
while n > 1:
	n -= 1
    cnt += 1
print(cnt)

문제에서는 N의 범위가 10만 이하이므로, 이처럼 일일이 1씩 빼도 문제를 해결할 수 있다. 하지만 N이 100억 이상의 큰 수가 되는 경우를 가정했을 때에도 빠르게 동작하려면, N이 K의 배수가 되도록 효율적으로 한 번에 빼는 방식으로 소스코드를 작성할 수 있다.

n, k = map(int, input().split())
cnt = 0

while True:
    target = (n // k) * k
    cnt += (n - target)
    n = target
    
    if n < k:
    	break
    cnt += 1
    n //= k
cnt += n - 1
print(cnt)

출처: 나동빈, 『이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬』(한빛미디어), 99-102p